Teorema degli zeri di Hilbert

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Il teorema degli zeri di Hilbert o Nullstellensatz (letteralmente "teorema dei luoghi di zeri" in tedesco) è un teorema dell'algebra commutativa (fondamentale in geometria algebrica) che mette in relazione insiemi algebrici e ideali negli anelli dei polinomi su campi algebricamente chiusi. Fu dimostrato per la prima volta da David Hilbert.

Sia ${\displaystyle K}$ un campo algebricamente chiuso (come il campo dei numeri complessi); si consideri l'anello dei polinomi ${\displaystyle K[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]}$ e sia ${\displaystyle I}$ un ideale in questo anello. L'insieme algebrico ${\displaystyle V(I)}$ definito da questo ideale consiste di tutte le ${\displaystyle n}$-uple ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ in ${\displaystyle K^{n}}$ tali che ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=0}$ per tutti gli ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle I}$. Il teorema degli zeri di Hilbert afferma che se ${\displaystyle p}$ è un qualche polinomio in ${\displaystyle K[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]}$ che si annulla sull'insieme algebrico ${\displaystyle V(I)}$, cioè ${\displaystyle p(\mathbf {x} )=0}$ per tutti gli ${\displaystyle \mathbf {x} }$ in ${\displaystyle V(I)}$, allora esiste un numero naturale ${\displaystyle r}$ tale che ${\displaystyle p^{r}}$ è in ${\displaystyle I}$.

Un corollario immediato è il "Nullstellensatz debole": se ${\displaystyle I}$ è un ideale proprio in ${\displaystyle K[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]}$, allora ${\displaystyle V(I)}$ non può essere vuoto, cioè esiste uno zero comune per tutti i polinomi dell'ideale. O equivalentemente: i polinomi dell'ideale hanno uno zero comune se e solo se l'ideale non contiene ${\displaystyle 1}$. Questa è la ragione del nome del teorema, che può essere facilmente dimostrato a partire dalla forma 'debole'. Si noti che l'assunzione che ${\displaystyle K}$ sia algebricamente chiuso è essenziale qui: l'ideale proprio ${\displaystyle (X^{2}+1)}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ non ha uno zero comune.

Con la notazione comune in geometria algebrica, il Nullstellensatz può anche essere formulato come

${\displaystyle I(V(J))={\sqrt {J}},}$

per ogni ideale ${\displaystyle J}$. Qui, ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$ denota il radicale di ${\displaystyle J}$ e ${\displaystyle I(U)}$ è l'ideale di tutti i polinomi che si annullano sull'insieme ${\displaystyle U}$. In questo modo, otteniamo una corrispondenza biunivoca che inverte l'ordine di inclusione tra gli insiemi algebrici in ${\displaystyle K^{n}}$ e gli ideali radicali di ${\displaystyle K[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]}$.